Chaîne de Markov à deux états - Corrigé

Énoncé

On considère un réel  \(p\in ]0 ; 1[\) et une chaîne de Markov \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  de matrice de transition  \(T=\begin{pmatrix}1-p&p\\p&1-p\end{pmatrix}\) .

1. On suppose que  \(X_0=\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}\) . Calculer  \(X_1\) . Que peut-on dire de la suite   \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  ?

2. On définit la matrice  \(M=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) . Calculer  \(M^2\) . En déduire une expression de  \(M^n\)  en fonction de  \(n\) .

3. En remarquant que  \(T=I_2-pM\) , en déduire une expression de  \(T^n\) .

4. On suppose à présent que  \(X_0=\begin{pmatrix}0,3&0,7\end{pmatrix}\) . Calculer  \(X_1\) et  \(X_2\)  en fonction de  \(p\) , puis  \(X_n\)  en fonction de  \(p\)  et de  \(n\) .

Solution

1. On a  \(X_1=X_0T=\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}=X_0\) . La suite    \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  est donc constante.

2. On a  \(M^2=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}=-2M\) .
On peut donc facilement montrer par récurrence que, pour tout  \(n\in\mathbb{N^*}\) ,  \(M^n=(-2)^{n-1}M\) .

3.  \(T=I_2-pM\)  et  \(I_2\)  et  \(M\)  commutent  \((I_2M=MI_2=M)\)  donc d'après la formule du binôme de Newton on a :
\(T^n=\displaystyle \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(-pM)^k\)
Donc    \(T^n=I_n+\displaystyle \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(-p)^k(-2)^{k-1}M\)
Donc  \(T^n=I_n-\dfrac{1}{2}(\displaystyle \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(2p)^k)M\)
Finalement  \(T^n=I_n-\dfrac{(1+2p)^n-1}{2}M\)

4.  \(X_1=\begin{pmatrix}0,3+0,4p&0,7-0,4p\end{pmatrix}\)

\(X_2=\begin{pmatrix}0,3+0,8p-0,8p^2&0,7-0,8p+0,8p^2\end{pmatrix}\)

\(X_n=\begin{pmatrix}0,3+0,4a_n&0,7-0,4a_n\end{pmatrix}\)  avec  \(a_n= \dfrac{(1+2p)^n-1}{2}\)